Có một số phương pháp xác định xem một chuỗi hội tụ hay phân kỳ.

Nếu chuỗi màu xanh, Σ b n {\displaystyle \Sigma b_{n}} là hội tụ thì chuỗi nhỏ hơn Σ a n {\displaystyle \Sigma a_{n}} cũng là hội tụ. Nếu chuỗi màu đỏ Σ a n {\displaystyle \Sigma a_{n}} là phân kỳ, thì chuỗi lớn hơn Σ b n {\displaystyle \Sigma b_{n}} cũng là phân kỳ.

Tiêu chuẩn so sánh. Nếu,

với mọi n, 0 ≤   a n ≤   b n {\displaystyle 0\leq \ a_{n}\leq \ b_{n}} và ∑ n = 1 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}} hội tụ, thế thì ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} hội tụ.

Nếu,

với mọi n, 0 ≤   b n ≤   a n {\displaystyle 0\leq \ b_{n}\leq \ a_{n}} và ∑ n = 1 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}} phân kỳ, thế thì ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} phân kỳ.

Tiêu chuẩn D'Alembert (hay tiêu chuẩn tỷ lệ). Giả sử rằng với mọi n, a n {\displaystyle a_{n}} khác 0. Giả sử tồn tại r {\displaystyle r} sao cho

lim n → ∞ | a n + 1 a n | = r . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.}

Nếu r <1, thì chuỗi hội tụ tuyệt đối. Nếu r > 1, thì chuỗi phân kỳ. Nếu r = 1, tiêu chuẩn D'Alembert không áp dụng, cần sử dụng phương pháp khác.

Tiêu chuẩn Cauchy (hay tiêu chuẩn căn thức). Giả sử rằng các số hạng của chuỗi là không âm. Xác định r như sau:

r = lim sup n → ∞ | a n | n , {\displaystyle r=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}

Nếu r <1, thì chuỗi hội tụ. Nếu r > 1, thì chuỗi phân kỳ. Nếu r = 1, tiêu chuẩn Cauchy không áp dụng, cần sử dụng phương pháp khác.

Tiêu chuẩn tích phân Cauchy.Giả sử f ( n ) = a n {\displaystyle f(n)=a_{n}} với f {\displaystyle f} là một hàm số dương đơn điệu giảm. Nếu

∫ 1 ∞ f ( x ) d x = lim t → ∞ ∫ 1 t f ( x ) d x < ∞ , {\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,}

thì chuỗi hội tụ. Nếu tích phân phân kỳ thì chuỗi phân kỳ.

Tiêu chuẩn so sánh giới hạn. Nếu { a n } , { b n } > 0 {\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}>0} và giới hạn lim n → ∞ a n b n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}} tồn tại và khác không, thì ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} hội tụ khi và chỉ khi ∑ n = 1 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}} hội tụ.

Tiêu chuẩn Leibniz. Với một chuỗi đan dấu ∑ n = 1 ∞ a n ( − 1 ) n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}} , nếu { a n } {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}} giảm đơn điệu và có giới hạn bằng 0 ở vô cực thì chuỗi hội tụ.